【题目】已知函数.
(1)当时,求不等式的解集.
(2)讨论不等式的解集.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
当时,,则由得,据此确定不等式的解集即可;
即,即不等式的解集为
由题意可得,若,不等式的解集可解,
若,则不等式等价为,令,换元后分类讨论求解不等式的解集即可.
当时,,
由得,得,即,即不等式的解集为
由得,
即,
若,则不等式等价为得,得,
若,则不等式等价为,
令,则不等式等价为,
若,抛物线开口向上,有两个零点2,,
若,则,此时不等式的解为,即,得,
若,则,此时不等式的无解,
若,则,此时不等式的解为,即,得,
若,抛物线开口向下,有两个零点2,,且,
此时不等式的解为或,即或,得或,
综上若,不等式的解集为或,
若,不等式的解集为,
若,不等式的解集为,
若,不等式的解集为空集,
若,不等式的解集为
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【题目】说明:请考生在(A)、(B)两个小题中任选一题作答。
(A)已知函数;
(1)求的零点;
(2)若有三个零点,求实数的取值范围.
(B)已知函数
(1)求的零点;
(2)若,有4个零点,求的取值范围.
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【题目】某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的60名学生,得到数据如下表:
喜欢统计课程 | 不喜欢统计课程 | 合计 | |
男生 | 20 | 10 | 30 |
女生 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 30 | 30 | 60 |
(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关?
(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查,将这6名学生作为一个样本,从中任选3人,求恰有2个男生和1个女生的概率.
下面的临界值表供参考:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中)
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【题目】已知函数为偶函数,且函数
图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求的值;
(2)将函数的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求的单调递减区间.
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ x2 , g(x)= x2+x,m∈R,令F(x)=f(x)+g(x). (Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若关于x的不等式F(x)≤mx﹣1恒成立,求整数m的最小值;
(Ⅲ)若m=﹣1,且正实数x1 , x2满足F(x1)=﹣F(x2),求证:x1+x2 ﹣1.
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【题目】已知:数列{an}中, =n,a2=6,n∈N+ .
(1)求a1 , a3 , a4;
(2)猜想an的表达式并给出证明;
(3)记:Sn= + +…+ ,证明:Sn< .
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【题目】已知数列{an}满足 an+2﹣an+1=an+1﹣an , n∈N* , 且a5= 若函数f(x)=sin2x+2cos2 ,记yn=f(an),则数列{yn}的前9项和为( )
A.O
B.﹣9
C.9
D.1
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ ,g(x)=ax+b.
(1)若函数h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx﹣ 图象的切线,求a+b的最小值;
(3)当b=0时,若f(x)与g(x)的图象有两个交点A(x1 , y1),B(x2 , y2),求证:x1x2>2e2 . (取e为2.8,取ln2为0.7,取 为1.4)
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