【题目】已知函数f(x)=x+ +lnx,a∈R. (Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)在区间(1,2)上单调递增,求a的取值范围;
(Ⅲ)讨论函数g(x)=f'(x)﹣x的零点个数.
【答案】解:(Ⅰ)函数f(x)=x+ +lnx(x>0), f′(x)=1﹣ + = ,
f(x)在x=1处取得极小值,
即有f′(1)=0,解得a=2,
经检验,a=2时,f(x)在x=1处取得极小值.
则有a=2;
(Ⅱ)f′(x)=1﹣ + = ,x>0,
f(x)在区间(1,2)上单调递增,
即为f′(x)≥0在区间(1,2)上恒成立,
即a≤x2+x在区间(1,2)上恒成立,
由x2+x∈(2,6),
则a≤2;
(Ⅲ)g(x)=f′(x)﹣x=1﹣ + ﹣x,x>0,
令g(x)=0,则a=﹣x3+x2+x,
令h(x)=﹣x3+x2+x,x>0,
则h′(x)=﹣3x2+2x+1=﹣(3x+1)(x﹣1),
当x∈(0,1),h′(x)>0,h(x)在(0,1)递增;
当x∈(1,+∞),h′(x)<0,h(x)在(1,+∞)递减.
即有h(x)的最大值为h(1)=1,
则当a>1时,函数g(x)无零点;
当a=1或a≤0时,函数g(x)有一个零点;
当0<a<1时,函数g(x)有两个零点
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数,由题意可得f′(1)=0,即可解得a,注意检验;(Ⅱ)由条件可得,f′(x)≥0在区间(1,2)上恒成立,运用参数分离,求得右边函数的范围,即可得到a的范围;(Ⅲ)令g(x)=0,则a=﹣x3+x2+x,令h(x)=﹣x3+x2+x,x>0,求出导数,求得单调区间和最值,结合图象对a讨论,即可判断零点的个数.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题.
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【题目】抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位:分),结果如下:
学生 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次 |
甲 | 65 | 80 | 70 | 85 | 75 |
乙 | 80 | 70 | 75 | 80 | 70 |
则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为 .
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【题目】设集合A={x|﹣1≤x+1≤6},B={x|m﹣1≤x<2m+1}.
(1)当x∈Z,求A的真子集的个数?
(2)若BA,求实数m的取值范围?
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【题目】设f′(x)为函数f(x)的导函数,已知x2f′(x)+xf(x)=lnx,f(1)= , 则下列结论正确的是( )
A.xf(x)在(0,+∞)单调递增
B.xf(x)在(1,+∞)单调递减
C.xf(x)在(0,+∞)上有极大值
D.xf(x)在(0,+∞)上有极小值
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【题目】PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.如图是根据环保部门某日早6点至晚9点在惠农县、平罗县两个地区附近的PM2.5监测点统计的数据(单位:毫克/立方米)列出的茎叶图,惠农县、平罗县两个地区浓度的方差较小的是( )
A.惠农县
B.平罗县
C.惠农县、平罗县两个地区相等
D.无法确定
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【题目】已知函数f(x)=(x﹣2)lnx﹣ax+1.
(1)若f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若存在唯一整数x0 , 使得f(x0)<0成立,求实数a的取值范围.
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