Question

在锐角△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1．
（1）求∠B的值；
（2）若b=3，求a+c的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式对sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1进行化简，最后求得cosB，进而求得B．
（2）根据余弦定理及B的值，求得a，b，c的关系式b²=（a+c）²-3ac，根据(a+c)2-3ac≥(a+c)2-

3

4

(a+c)2=(

a+c

2

)2，进而求出（a+c）的最大值．

解答：解：（1）∵sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1，
∴4sin²Bcos²B+2sin²BcosB-2sin²B=0，
即2sin²B（2cosB-1）（cosB+1）=0．
又△ABC为锐角三角形，∴2cosB-1=0，即∠B=

π

3

；
（2）由（1）知∠B=

π

3

，
∴cos

π

3

=

a2+c2-b2

2ac

，
即b2=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-

3

4

(a+c)2=(

a+c

2

)2
∴（a+c）²≤4b²=36，可知a+c的最大值为6．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用．在求最值的问题上，对于二次函数，常用配方法来求．