Question

设复数z=

7+i

3+4i

-isinθ其中i为虚数单位，θ∈[-

π

6

，

5π

6

]，则|z|的取值范围是（　　）

• A．[1，

  3

  ]
• B．[1，

  5

  ]
• C．[

  13

  2

  ，

  5

  ]
• D．[

  5

  2

  ，

  5

  ]

Answer 1

分析：先将z化成代数形式，利用模的计算公式得出|z|²=1+（sinθ+1）²，看作关于sinθ的二次函数求解．

解答：解：z=

7+i

3+4i

-isinθ=

(7+i)(3-4i)

(3+4i)(3-4i)

-isinθ
=（1-i）-isinθ=1-（sinθ+1）i，
根据复数模的计算公式得出|z|²=1+（sinθ+1）²，
∵θ∈[-

π

6

，

5π

6

]，∴sinθ∈[-

1

2

，1]，当sinθ=-

1

2

时，|z|²取得最小值

5

4

，
当sinθ=1，时，|z|²取得最大值5，∴|z|²∈[

5

4

，5]
∴|z|的取值范围是[

5

2

，

5

]
故选D

点评：本题考查了复数代数形式的基本运算，复数模的计算，二次函数、三角函数的性质．