Question

10．设函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3
（1）若2f（x）≥g（x）对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围；
（2）求证：当x∈（0，+∞）时，恒有lnx＞$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$成立．

Answer 1

分析 （1）根据对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，也就是a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$在x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，求出导数，求出函数的最小值，使得a小于函数的最小值即可；
（2）要证不等式在一个区间上恒成立，把问题进行等价变形，求出f（x）=xlnx的最小值，只要求函数G（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$的最大值进行比较即可得证．

解答 解：（1）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
即2xlnx-ax≥-x²-3恒成立．
也就是a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$在x∈（0，+∞）恒成立．
令F（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，
则F'（x）=$\frac{2}{x}$+1-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
在（0，1）上F'（x）＜0，在（1，+∞）上上F'（x）＞0，
因此，F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即F_min（x）=F（1）=4，
所以a≤4；
（2）证明：问题等价于证明xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，
f（x）=xlnx的导数为1+lnx，当x＞$\frac{1}{e}$时，f（x）递增，
x＜$\frac{1}{e}$时，f（x）递减，即有x=$\frac{1}{e}$时，取得最小值-$\frac{1}{e}$；
设G（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，则G'（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，当x＜1时，G（x）递增；
当x＞1时，G（x）递减．则有x=1处取得最大值-$\frac{1}{e}$，
从而可知对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，
即为lnx＞$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$成立．

点评 本题考查函数性质和导数的综合应用，解题的关键是利用导数方法求函数的最值，利用函数思想时也要用导数来求最值．