Question

（2012•泸州一模）数列{a_n}，{b_n}（n=1，2，3…）由下列条件确定：①a₁＜0，b₁＞0；②当k≥2时，a_k与b_k满足：当a_k-1+b_k-1≥0时，a_k=a_k-1，bk=

ak-1+bk-1

2

；当a_k-1+b_k-1＜0时，ak=

ak-1+bk-1

2

，b_k=b_k-1．
（Ⅰ）若a₁=-1，b₁=1，求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，若b1＞b2＞…＞bs(s≥3，且s∈N*)，用a₁，b₁表示b_k（k∈[1，2，…，s]）并求

s

i=1

bi．

Answer 1

分析：（1）根据a₁+b₁≥0，可得 a₂=a₁=-1，b₂=

a1+ b1

2

=0；根据a₂+b₂=-1＜0，可得 a₃ 和 b₃ 的值；再根据 a₃+b₃=-

1

2

＜0，求得a₄=

a3+b3

2

的值．
（2）通过分类讨论可知，所以无论哪种情况，都有bk-ak=

bk-1-ak-1

2

，从而可获得数列b_n-a_n为等比数列进而可获得问题的解答；结合条件经分类讨论可知

ak-1+bk-1

2

≥0，对于2≤k≤n，a_k=a_k-1，b_k=

ak-1+bk-1

2

从而a_n=a_n-1 =a₁．由（1）即可获得问题的结论．

解答：解：：（1）若a₁=-1，b₁=1，满足若a₁+b₁≥0，则 a₂=a₁=-1，b₂=

a1+ b1

2

=0．
此时，a₂+b₂=-1＜0，a₃=

a2+b2

2

=-

1

2

，b₃=b₂=0．
此时 a₃+b₃=-

1

2

＜0，a₄=

a3+b3

2

=-

1

4

．
综上可得，a₂=-1，a₃=-

1

2

，a₄=-

1

4

．
（2）当

ak-1+bk-1

2

≥0时，bk-ak=

ak-1+bk-1

2

-ak-1=

bk-1-ak-1

2

；
当

ak-1+bk-1

2

＜0时，bk-ak=bk-1-

ak-1+bk-1

2

=

bk-1-ak-1

2

，
所以无论哪种情况，都有bk-ak=

bk-1-ak-1

2

．
因此，数列{b_k-a_k}是首相为b₁-a₁，公比为

1

2

的等比数列，∴bn-an=(b1-a1)•(

1

2

)n-1．
由b₁＞b₂＞＞b_n（n≥2）时，b_k≠b_k-1（2≤k≤n），由上可知，

ak-1+bk-1

2

＜0不成立，
所以

ak-1+bk-1

2

≥0，对于2≤k≤n，a_k=a_k-1，b_k=

ak-1+bk-1

2

，于是a_n=a_n-1 =a₁，
由此可得，b_k=a₁+（b₁-a₁）•(

1

2

)s-1(k=2，3，…，s)．
故

s

i=1

bi=na₁+（b₁-a₁）•（1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2s-1

）=na₁+（b₁-a₁）•[2-(

1

2

)s-1]=（n-2）a₁+2b₁-（b₁-a₁）•(

1

2

)s-1．

点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题，在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、数列求和的知识以及问题转化的知识，值得同学们体会和反思，属于难题．