Question

15．已知函数f（x）=3^x-2x，求证：对于任意的x₁，x₂∈R，均有$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}≥f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$．

Answer 1

分析 根据已知中的函数解析式，利用二次求导，分析函数的凸凹性，进而可得答案．

解答 证明：∵函数f（x）=3^x-2x，
∴f′（x）=ln3•3^x-2，
∴f″（x）=ln²3•3^x，
∵f″（x）＞0恒成立，
故函数f（x）为凹函数，
故对于任意的x₁，x₂∈R，均有$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}≥f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$．

点评 本题考查的知识点是函数的凸凹性，其中熟练掌握函数凸凹性与二阶导数符号的关系是解答的关键．