Question

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：

①      ②M是与n无关的常数.

（1）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₃=4，S₃=18，证明：{S_n}∈W

（2）设数列{b_n}的通项为，求M的取值范围；

（3）设数列{c_n}的各项均为正整数，且

Answer 1

解：（1）设等差数列{a_n}的公差是d，则a₁+2d=4，3a₁+3d=18，

解得a₁=8，d=－2，

所以

由

=－1＜0

得适合条件①；又

所以当n=4或5时，S_n取得最大值20，即S_n≤20，适合条件②

综上，{S_n}∈W

（2）解：因为

所以当n≥3时，，此时数列{b_n}单调递减；

当n=1，2时，，即b₁＜b₂＜b₃，

因此数列{b_n}中的最大项是b₃=7 

所以M≥7

（3）解：假设存在正整数k，使得成立

由数列{c_n}的各项均为正整数，可得

因为

由

因为

依次类推，可得

设

这显然与数列{c_n}的各项均为正整数矛盾！

所以假设不成立，即对于任意n∈N^*,都有成立