【题目】已知椭圆E:的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A在椭圆E上,∠F1AF2=60°,△F1AF2的面积为4.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆E分别交于P,Q两点,证明:点O到直线PQ的距离为定值,并求出这个定值.
【答案】(1)1;(2)证明见解析,.
【解析】
(1)由面积可得,再结合余弦定理可得与的关系式,由离心率再得一个关系式,可求得,得椭圆方程;
(2)射线的斜率不存在时,是椭圆顶点,求出方程后可得原点到它的距离,当斜率存在且不为零时,设直线PQ为:y=kx+m,P(x,y),Q(x1,y1),直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得,并计算,再代入可得的关系,当然要注意,然后由这个关系可求得原点到直线的距离.
(1)由题意得 sin60°=4,∴=16,
再由余弦定理:|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=(|PF1|+|PF2|)2﹣3|PF1||PF2|,
即:4c2=4a2﹣316,∴c2=a2﹣12,又离心率e,b2=a2﹣c2,∴a2=48,b2=12,
所以椭圆E的方程:1;
(2)证明:当射线的斜率不存在时,由椭圆的对称性得,设P,Q分别是上顶点,右顶点,
则直线OQ为:,即x+2y﹣4,这时原点到直线PQ的距离d;
当斜率存在且不为零时,设直线PQ为:y=kx+m,P(x,y),Q(x1,y1),
与椭圆联立得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣48=0,△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣48)>0,
即m2<48k2+12,x+x1=,xx1,yy1=k2xx1+km(x+x1)+m2,
由题意OP⊥OQ,∴0,∴xx1+yy1=0,∴5m2=48+48k2,
O到直线PQ的距离d,
综上所述,可证明点O到直线PQ的距离为定值 .
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),其中.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.
(1)求的直角坐标方程;
(2)已知点,与交于点,与交于两点,且,求的普通方程.
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【题目】如图①,在等腰梯形中,分别为的中点 为中点,现将四边形沿折起,使平面平面,得到如图②所示的多面体,在图②中.
(1)证明:;
(2)求三棱锥的体积.
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【题目】如图所示,在三棱锥中,与都是边长为2的等边三角形,、、、分别是棱、、、的中点.
(1)证明:四边形为矩形;
(2)若平面平面,求点到平面的距离.
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【题目】已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A,B两点,|AB|=4.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点F的直线l交抛物线于P,Q两点,若△OPQ的面积为4,求直线l的斜率(其中O为坐标原点).
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【题目】已知椭圆:的离心率为,直线被圆截得的弦长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线交椭圆于,两点,在轴上是否存在定点,使得为定值?若存在,求出点的坐标和的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的右顶点为,左焦点为,离心率,过点的直线与椭圆交于另一个点,且点在轴上的射影恰好为点,若.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过圆上任意一点作圆的切线与椭圆交于,两点,以为直径的圆是否过定点,如过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由.
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【题目】如图所示,三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,且底面是边长为2的正三角形,AA1=3,点D,E,F,G分别是所在棱的中点.
(Ⅰ)证明:平面BEF∥平面DA1C1;
(Ⅱ)求三棱柱ABC﹣A1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间的部分的体积.
附:台体的体积,其中S和S′分别是上、下底面面积,h是台体的高.
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【题目】某校学生会开展了一次关于“垃圾分类”问卷调查的实践活动,组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了共50名居民进行问卷调查.调查结束后,学生会对问卷结果进行了统计,并将其中一个问题“是否知道垃圾分类方法(知道或不知道)”的调查结果统计如下表:
年龄(岁) | ||||||
频数 | 14 | 12 | 8 | 6 | ||
知道的人数 | 3 | 4 | 8 | 7 | 3 | 2 |
(1)求上表中的的值,并补全右图所示的的频率直方图;
(2)在被调查的居民中,若从年龄在的居民中各随机选取1人参加垃圾分类知识讲座,求选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率.
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