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如图所示,ABCD是矩形,四个顶点在平面α内的射影分别为A′、B′、C′、D′,直线AB′与CD′不重合.

(1)求证:ABCD′是一平行四边形;

(2)在什么条件下,ABCD′也是矩形?并证明你的结论.

(1)证明:过BBEAB′,过CCFCD′.?

AA′⊥α,BB′⊥α,∴AA′∥BB′.?

ABBE为平行四边形.?

ABBE.

同理,CDCF.?

AA′⊥AB′,∴BEAA′.?

同理,CFDD′.?

AA′∥DD′,BB′∥CC′,?

∴∠AAB=∠DDC.?

AB=OC,∴△ABE≌△DCF.?

BE=CF.∴AB′=CD′.?

CC′∥BB′,∴面CDDC′∥面ABBA′.?

AB′∥DC′.?

AB′=CD′,∴ABCD′为平行四边形.?

(2)解析:∵ABCD为矩形,∴ABBC.?

AA′⊥面α,BB′⊥面α,?

AB′为ABα上的射影.?

ABCD′也为矩形,?

AB′⊥BC′.∴ABBC′.?

①若BCBC′,则成立.?

②若BC不平行于BC′,则AB⊥面BCCB′.?

又面BCCB′⊥面α,ABα,∴ABα时成立.?

∴当ABCD中至少有一组对边平行于α时,ABCD′也为矩形.

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