Question

15．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=3，直线y=x+2与双曲线交于A，B两点，若OA⊥OB，求双曲线的方程．

Answer 1

分析 双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=3，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1可化为8x²-y²=8a²，把直线与双曲线方程联立消去y，由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和与积，进一步纵坐标的积，由OA⊥OB列式求解a的值，即可得出结论．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=3，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=9，
∴b²=8a²，
∴双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1可化为8x²-y²=8a²，
直线y=x+2，代入，整理可得7x²-4x-4-8a²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4}{7}$，x₁x₂=$\frac{-4-8{a}^{2}}{7}$
y₁y₂=（2+x₁）（2+x₂）=4+2（x₁+x₂）+x₁x₂=$\frac{32-8{a}^{2}}{7}$．
由OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴$\frac{-4-8{a}^{2}}{7}$+$\frac{32-8{a}^{2}}{7}$=0
∴a²=$\frac{7}{4}$，b²=8a²=14．
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{7}{4}}-\frac{{y}^{2}}{14}=1$．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题，常采用“设而不求”的办法，借助于一元二次方程的根与系数关系解决，训练了数量积判断两个向量垂直的关系，考查了学生的计算能力，是中档题．