Question

如图所示的空间直角坐标系A-xyz中，正三角形△ABC中AB=2，AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁=BB₁=CC₁=2，D，E分别为A₁C，BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；        
（Ⅱ）求异面直线BD与CE所成角的大小．

Answer 1

分析：在空间直角坐标系中，先确定相关点的坐标，（1）取取AC的中点F，利用向量证明DE∥BF，从而由线面平行的判定定理得证（2）分别求出两条异面直线的方向向量的坐标，再利用向量数量积运算的夹角公式计算向量夹角的余弦值，最后由异面直线所成的角的范围得角的大小

解答：解：依题意，A（0，0，0），B（

3

，1，0），C（0，2，0），D（0，1，1），E（

3

，1，1）
（1）取AC的中点F（0，1，0），则

BF

=（-

3

，0，0），

ED

=（-

3

，0，0）
∴

BF

=

ED

∴DE∥BF
又BF?平面ABC，DE?平面ABC
∴DE∥平面ABC
（2）∵

BD

=（-

3

，0，1），

CE

=（

3

，-1，1）
∴cos＜

BD

，

CE

＞=

BD • CE

| BD ||  CE |

=

-3+0+1

3+1 × 3+1+1

=-

5

5

∴异面直线BD与CE所成角的余弦值为

5

5

∴异面直线BD与CE所成角的大小为arccos

5

5

点评：本题综合考查了空间直角坐标系的方法解决立体几何问题，线面平行的判定定理，求异面直线所成的角的方法