Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b-c）cosA-acosC=0，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=

3

，S△ABC=

3 3

4

，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用正弦定理把（2b-c）cosA-acosC=0中的边转化成角的正弦，进而化简整理得sinB（2cosA-1）=0，求得cosA，进而求得A．
（2）根据三角形面积公式求得bc，进而利用余弦定理求得b²+c²进而求得b和c，结果为a=b=c，进而判断出∴△ABC为等边三角形．

解答：解：（Ⅰ）∵（2b-c）cosA-acosC=0，由正弦定理，
得（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，
∴2sinBcosA-sin（A+C）=0，sinB（2cosA-1）=0，
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）∵S△ABC=

1

2

bcsinA=

3 3

4

，
即

1

2

bcsin

π

3

=

3 3

4

∴bc=3①
由余弦定理可知cosA=

b2+c2-3

2bc

=

1

2

∴b²+c²=6，②
由①②得b=c=

3

，
∴△ABC为等边三角形．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生分析问题和灵活运用所学知识的能力．