Question

11．直线l：3x-4y-5=0与圆C：（x-2）²+（y-1）²=25交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）若M为圆C上的任意一点，求△ABM面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{3x-4y-5=0}\\{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}=25}\end{array}\right.$，能求出A、B两点的坐标．
（2）求出圆心C（2，1）到直线l：3x-4y-5=0的距离和圆半径，由此能求出|AB|，设P（2+5cosθ，1+5sinθ）是圆上任意一点，求出点P到直线l：3x-4y-5=0的距离h的最大值，由此能求出△ABM面积的最大值．

解答 解：（1）∵直线l：3x-4y-5=0与圆C：（x-2）²+（y-1）²=25交于A，B两点，
∴解方程组$\left\{\begin{array}{l}{3x-4y-5=0}\\{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}=25}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{59+8\sqrt{154}}{25}}\\{y=\frac{13+6\sqrt{154}}{25}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{59-8\sqrt{154}}{25}}\\{y=\frac{13-6\sqrt{154}}{25}}\end{array}\right.$，
∴A（$\frac{59+8\sqrt{154}}{25}$，$\frac{13+6\sqrt{154}}{25}$），B（$\frac{59-8\sqrt{154}}{25}$，$\frac{13-6\sqrt{154}}{25}$）．
（2）∵圆心C（2，1）到直线l：3x-4y-5=0的距离d=$\frac{|6-4-5|}{\sqrt{9+16}}$=$\frac{3}{5}$，圆半径r=5，
∴|AB|=2$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{154}}{5}$．
设P（2+5cosθ，1+5sinθ）是圆上任意一点，
点P到直线l：3x-4y-5=0的距离h=$\frac{|6+15cosθ-4-20sinθ|}{\sqrt{9+16}}$=$\frac{|15cosθ-20sinθ+2|}{5}$=$\frac{|25sin（θ+α）+2|}{5}$，
∴h_max=$\frac{27}{5}$，
∴△ABM面积的最大值S=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{154}}{5}×\frac{27}{5}$=$\frac{54\sqrt{154}}{25}$．

点评 本题考查交点坐标的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式、圆的参数方程的性质的合理运用．