Question

已知cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=

1

3

，且α∈(

3π

2

，2π)，求cos(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：利用两角差的余弦公式求出cosα，然后求出2α的正弦与余弦值，通过两角和的余弦函数，代入数据即可求出结果．

解答：解：cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=

1

3

，α∈(

3π

2

，2π)，可得cos（α+β-α）=cosα=

1

3

，
所以cos2α=2cos²α-1=-

7

9

，sin2α=2sinαcosα=-

4 2

9

，
所以cos(2α+

π

4

)=

2

2

(-

7

9

+

4 2

9

)=

8-7 2

18

；
故答案为：

8-7 2

18

．

点评：本题考查两角和与差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，求出cosα是解题的关键．