精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
我们定义双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线与直线y=±b的交点为“虚近点”,如图点P是双曲线C在第一象限的渐近点,直线y=b与双曲线C的左、右分支分别交于点A、B,F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点,O为坐标原点.
(1)求证:PF1⊥PF2
(2)求证:PF1平分∠APO;
(3)你能否在未证明(1)下,直接证明(2)?请写下你的理由.

【答案】分析:(1)根据题意,分析“虚近点”的定义,联立由得P的坐标,由向量数量积的公式,计算,可得其结果为0,即可证PF1⊥PF2
(2)由(1)知△F1PF2为直角三角形,且O为斜边F1F2的中点,由直角三角形的性质,可得∠OF1P=∠OPF1,进而可得∠OF1P=∠APF1,即可证PF1平分∠APO;
(3)由(1)可得P的坐标,可得|OP|=C,又由|OF1|=c,可得∠OF1P=∠OPF1,进而根据AB∥F1F2,得∠OF1P=∠APF1,即可得∠OPF1=∠APF1,即可证PF1平分∠APO.
解答:证明:(1)双曲线C在第一、三象限的渐近线方程为y=x,
得P(a,b),
=(-c-a,-b)•(c-a,-b)=a2-c2+b2=0,
得PF1⊥PF2
(2)由(1)知△F1PF2为直角三角形,且O为斜边F1F2的中点,
∴OP=OF1,有∠OF1P=∠OPF1
又∵AB∥F1F2,得∠OF1P=∠APF1
∴∠OPF1=∠APF1
∴PF1平分∠APO,同理得证PF2平分∠BPO;
(3)能直接证明,证明如下:
同(1)的方法,可求得P(a,b),
∴|OP|==c,
又∵|OF1|=c,∴∠OF1P=∠OPF1
又∵AB∥F1F2,得∠OF1P=∠APF1,∴∠OPF1=∠APF1
∴PF1平分∠APO.
点评:本题考查双曲线的性质与应用,解题时,注意分析题意,把握好“虚近点”的定义,结合双曲线的定义与性质,从而解题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网我们定义双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的渐近线与直线y=±b的交点为“虚近点”,如图点P是双曲线C在第一象限的渐近点,直线y=b与双曲线C的左、右分支分别交于点A、B,F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点,O为坐标原点.
(1)求证:PF1⊥PF2
(2)求证:PF1平分∠APO;
(3)你能否在未证明(1)下,直接证明(2)?请写下你的理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•普陀区一模)如图,已知圆C:x2+y2=r2与x轴负半轴的交点为A.由点A出发的射线l的斜率为k,且k为有理数.射线l与圆C相交于另一点B.
(1)当r=1时,试用k表示点B的坐标;
(2)当r=1时,试证明:点B一定是单位圆C上的有理点;(说明:坐标平面上,横、纵坐标都为有理数的点为有理点.我们知道,一个有理数可以表示为
qp
,其中p、q均为整数且p、q互质)
(3)定义:实半轴长a、虚半轴长b和半焦距c都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”.
当0<k<1时,是否能构造“整勾股双曲线”,它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成?若能,请尝试探索其构造方法;若不能,试简述你的理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010年上海市普陀区高考数学一模试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

如图,已知圆C:x2+y2=r2与x轴负半轴的交点为A.由点A出发的射线l的斜率为k,且k为有理数.射线l与圆C相交于另一点B.
(1)当r=1时,试用k表示点B的坐标;
(2)当r=1时,试证明:点B一定是单位圆C上的有理点;(说明:坐标平面上,横、纵坐标都为有理数的点为有理点.我们知道,一个有理数可以表示为,其中p、q均为整数且p、q互质)
(3)定义:实半轴长a、虚半轴长b和半焦距c都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”.
当0<k<1时,是否能构造“整勾股双曲线”,它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成?若能,请尝试探索其构造方法;若不能,试简述你的理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010年上海市普陀区高考数学一模试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

如图,已知圆C:x2+y2=r2与x轴负半轴的交点为A.由点A出发的射线l的斜率为k,且k为有理数.射线l与圆C相交于另一点B.
(1)当r=1时,试用k表示点B的坐标;
(2)当r=1时,试证明:点B一定是单位圆C上的有理点;(说明:坐标平面上,横、纵坐标都为有理数的点为有理点.我们知道,一个有理数可以表示为,其中p、q均为整数且p、q互质)
(3)定义:实半轴长a、虚半轴长b和半焦距c都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”.
当0<k<1时,是否能构造“整勾股双曲线”,它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成?若能,请尝试探索其构造方法;若不能,试简述你的理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案