Question

（2012•天门模拟）已知函数f(x)=

3

sinωx-2sin2

ωx

2

(ω＞0)的最小正周期为3π．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c，

3

a=2csinA；求角C的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若f(

3

2

A+

π

2

)=

11

13

，求cosB的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、两角和的直线函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可得到函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）通过正弦定理利用

3

a=2csinA，求出sinC的值，结合a＜b＜c，求角C的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，利用f(

3

2

A+

π

2

)=

11

13

，求出sinA，cosA，然后求出cosB的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sinωx-2sin2

ωx

2

=

3

sinωx-2•

1-cosωx

2

=2sin（ωx+

π

6

）-1
函数f(x)=

3

sinωx-2sin2

ωx

2

(ω＞0)的最小正周期为3π．
即：

2π

ω

=3π，解得ω=

2

3

．
（Ⅱ）因为

3

a=2csinA
∴

a

c

=

2sinA

3

=

sinA

sinC

又sinA≠0，∴sinC=

3

2

又因为a＜b＜c，所以C=

2π

3

．
（Ⅲ）f(

3

2

A+

π

2

)=

11

13

，⇒cosA=

12

13

∵0＜A＜

π

3

∴sinA=

1-cos2A

=

5

13

∴cosB=cos（

π

3

-A）=cos

π

3

cosA+sin

π

3

sinA
=

12+5 3

26

点评：本题考查三角函数的化简求值，三角函数公式的灵活运应，注意解答范围与三角形边的关系，考查计算能力，常考题型．