Question

5．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面A₁ADD₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D=$\sqrt{2}$，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（1）求证：A₁O∥平面AB₁C；
（2）求三棱锥B₁-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）欲证A₁O∥平面AB₁C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A₁O与平面AB₁C内一直线平行，连接CO、A₁O、AC、AB₁，利用平行四边形可证A₁O∥B₁C，又A₁O?平面AB₁C，B₁C⊆平面AB₁C，满足定理所需条件；
（2）由题意，B₁到平面ABC的距离等于D₁到平面ABC的距离即D₁O=1，即可求出三棱锥B₁-ABC的体积．

解答 （1）证明：如图（1），
连接CO、A₁O、AC、AB₁，
则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A₁B₁，
所以，四边形A₁B₁CO为平行四边形，
所以A₁O∥B₁C，
又A₁O?平面AB₁C，B₁C⊆平面AB₁C
所以A₁O∥平面AB₁C；
（2）解：由题意，B₁到平面ABC的距离等于D₁到平面ABC的距离即D₁O=1，
所以三棱锥B₁-ABC的体积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于中档题．