Question

已知函数f（x）=x²-2ax+b，a，b∈R．
（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2}中任取一个元素，求方程f（x）=0有两个不相等实根的概率；
（2）若a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．

Answer 1

分析：（1）先确定a、b取值的所有情况得到共有12种情况，又因为方程有两个不相等的根，所以根的判别式大于零得到a＞b，而a＞b占6种情况，所以方程f（x）=0有两个不相等实根的概率P=0.5；（2）由a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数得试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，而方程f（x）=0没有实根构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}，分别求出两个区域面积即可得到概率．

解答：解：（1）a取集合{0，1，2，3}中任一元素，
b取集合{0，1，2}中任一元素
∴a、b的取值情况有（0，0），（0，1）（0，2）
（1，0）（1，1）（1，2）（2，0），
（2，1），（2，2），（3，0）（3，1）（3，2）
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，基本事件总数为12．
设“方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A，
当a≥0，b≥0时方程f（x）=0有两个不相等实根的充要条件为a＞b
当a＞b时，a的取值有（1，0）（2，0）（2，1）（3，0）（3，1）（3，2）
即A包含的基本事件数为6．
∴方程f（x）=0有两个不相等的实根的概率P（A）=

6

12

=

1

2

（2）∵a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数
则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}这是一个矩形区域，其面积S_Ω=2×3=6
设“方程f（x）=0没有实根”为事件B
则事件B构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}即图中阴影部分的梯形，其面积SM=6-

1

2

×2×2=4
由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）=0没有实根的概率P（B）=

SM

SΩ

=

4

6

=

2

3

．

点评：考查学生函数与方程的综合运用能力，以及排列组合，求事件概率的能力．