Question

6．（1）已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cosx的图象在点A（x₀，f（x₀））处的切线斜率为$\frac{1}{2}$，求tanx₀的值．
（2）对于正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，求数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）先求函数f（x）的导数，然后令f'（x₀）=1，求出x₀的值后再求其正切值即可；
（2）欲求数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n项和，必须求出在点x=2处的切线方程，须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，即得直线方程进而得到切线与y轴交点的纵坐标，最后利用等比数列的求和公式计算，从而问题解决．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cosx，
∴f'（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinx=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin（x-$\frac{π}{6}$），
又因为f'（x₀）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin（x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴x₀-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，即x₀=kπ+$\frac{π}{6}$，
∴tanx₀=tan（kπ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）y′=nx^n-1-（n+1）xⁿ，
曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线的斜率为k=n•2^n-1-（n+1）2ⁿ，
切点为（2，-2ⁿ），
所以切线方程为y+2ⁿ=k（x-2），
令x=0得a_n=（n+1）2ⁿ，
令b_n=$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=2ⁿ，
则数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n项和为2+2²+2³+…+2ⁿ=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式．解后反思：应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点．否则容易出错．