Question

已知函数f（x）是定义在R上的单调奇函数，且f（1）=-2．
（Ⅰ）求证函数f（x）为R上的单调减函数；
（Ⅱ） 解不等式f（x）+f（2x-x²-2）＜0．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：∵函f（x）是奇函数
∴f（-1）=-f（1）=f（-1）＞f（1）
∴函数f（x）不是R上的增函数（2分）
又函f（x）R上单调∴函f（x）R上的单调减函数（4分）
（Ⅱ）f（x）+f（2x-x²-2）＜0，∴f（x）＜-f（2x-x²-2）=f（-2x+x²+2）（6分）
由（Ⅰ）知函f（x）为上的单调减函数x＞-2x+x²+2（8分）
x²-3x+2＜得（x-1）（x-2）＜0，（10分）1＜x＜2∴原不等式的解集{x|1＜x＜2}（12分）
分析：（I）欲证函数f（x）为R上的单调减函数，根据题意，只须证明函数f（x）不是R上的增函数即可；
（II）本题中函数是一个抽象函数，由于给出了它是奇函数与在区间上单调两个条件故可以利用奇函数的性质将f（x）+f（2x-x²-2）＜0变为f（x）＜f（-2x+x²+2），再利用单调性将抽象不等式变为二次不等式，实数x的取值范围易求．
点评：本题考点是函数的奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的奇偶性与单调性解抽象不等式，本题的解题步骤一般是先利用函数的奇偶性将不等式变为f（x）＜f（-2x+x²+2），再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体不等式．