Question

20．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=1，CD=2．
（1）求证：AB∥平面PCD；
（2）求证：BC⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）由AB∥CD，利用直线与平面平行的判定定理即可得证；
（2）可求$BD=\sqrt{2}$，由勾股定理的逆定理知，CB⊥BD，又由PD⊥底面ABCD，CB?平面ABCD，可证CB⊥PD，即可证明BC⊥平面PBD．

解答 （本小题满分13分）
证明：（1）∵AB∥CD，…（2分）
AB?平面PCD，CD?平面PCD…（5分）
∴AB∥平面PCD…（6分）
（2）在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD=1，
∴$BD=\sqrt{2}$，…（7分）
∴BC²=（CD-AB）²+AD²=2，在△CBD中，由勾股定理的逆定理知，△CBD是直角三角形，且CB⊥BD，…（9分）
又PD⊥底面ABCD，CB?平面ABCD，
∴CB⊥PD，…（11分）
∵BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD．…（13分）

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．