Question

5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且7asinB=4c，cosB=$\frac{3}{5}$．
（1）求角A的大小；
（2）设BC边上的中点为D，|AD|=$\sqrt{137}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由cosB=$\frac{3}{5}$，可得sinB，又7asinB=4c，代入得7a=5c，由正弦定理得7sinA=5sinC，化简可得tanA=1，从而可求A的值．
（2）由余弦定理可得：AB²+BD²-2AB•BDcosB=137，代入可解得c=14，a=10，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵由cosB=$\frac{3}{5}$，得sinB=$\frac{4}{5}$，…（1分）
又∵7asinB=4c，
∴代入得7a=5c，
由$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，得7sinA=5sinC，…（3分）
∴7sinA=5sin（A+B），7sinA=5sinAcosB+5cosAsinB，…（5分）
∴得tanA=1，A=$\frac{π}{4}$，…（7分）
（2）∵由余弦定理可得：AB²+BD²-2AB•BDcosB=137，…（9分）
∴c²+（$\frac{5c}{14}$）²-2c×$\frac{5}{14}c×\frac{3}{5}$=137，c=14，
∴则a=10，…（12分）
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×14×10×\frac{4}{5}=56$．…（15分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．