Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-2x-3与两条坐标轴的三个交点都在圆C上．若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，
（1）求圆C的方程；
（2）若|AB|=2，求a的值；
（3）若 OA⊥OB，（O为原点），求a的值．

Answer 1

解：（1）曲线y=x²-2x-3与y轴的交点为（0，3），
与x轴的交点为（-1，0），（3，0），
设圆C的圆心为（1，t），
则有1²+（t+3）²=（1+1）²+t²，解得t=-1．
则圆C的半径为，
∴圆C的方程为（x-1）²+（y+1）²=5．
（2）∵|AB|=2，
∴圆心C到直线x-y+a=0的距离为，
∴，解得a=0，或a=-4．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足方程组，
消去y，得2x²+2ax+a²+2a-3=0．
∵圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，
∴△=24-16a-4a²＞0，
∴x₁+x₂=-a，x₁x₂=．①
由于OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，
∴2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0．②
由①②，得a=1，或a=-3．满足△＞0，
故a=1，或a=-3．
分析：（1）曲线y=x²-2x-3与y轴的交点为（0，3），与x轴的交点为（-1，0），（3，0），设圆C的圆心为（1，t），解得t=-1．由此能求出圆C的方程．
（2）由|AB|=2，知圆心C到直线x-y+a=0的距离为，由点到直线的距离公式能求出a的值．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得2x²+2ax+a²+2a-3=0．由OA⊥OB，能求出a的值．
点评：本题考查圆的方程的求法，考查满足条件的a的值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离公式、韦达定理、根的判别式、向量等知识点的合理运用．