Question

2．在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，若$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$≥$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，则λ的最大值是（　　）

• A． $\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件运用向量的数量积的坐标表示和二次不等式的解法，即可求出λ的最大值．

解答 解：∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，
∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴，
CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：
C（0，0），A（1，0），B（0，1），$\overrightarrow{AB}$=（-1，1），
由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，
∴λ∈[0，1]，$\overrightarrow{AP}$=（-λ，λ），
$\overrightarrow{CP}$=（1-λ，λ），$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}$=（λ-1，1-λ），
若$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$≥$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，
∴λ-1+λ≥λ²-λ+λ²-λ．
2λ²-4λ+1≤0，
解得：1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤λ≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵λ∈[0，1]，
∴λ∈[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]．
则λ的最大值是1．
故选：C．

点评 本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积以及向量的坐标运算，考查计算能力以及转化思想，属于中档题