Question

5．已知直线l过点P（1，2）且与圆C：x²+y²=2相交于A，B两点，△ABC的面积为1，则直线l的方程为x-1=0，3x-4y+5=0．

Answer 1

分析 当直线斜率不存在时，直线方程为x=1，此时，A（1，1），B（1，-1），|AB|=2，成立；当直线的斜率不存在时，设直线l的方程为kx-y+2-k=0，联立$\left\{\begin{array}{l}{kx-y+2-k=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（k²+1）x²+（4k-2k²）x+k²-4k+2=0，由此利用韦达定理、弦长公式、直线方程，结合已知条件，能求出直线的方程．

解答 解：∵直线l过点P（1，2）且与圆C：x²+y²=2相交于A，B两点，△ABC的面积为1，
∴C（0，0），
当直线斜率不存在时，直线方程为x=1，
此时，A（1，1），B（1，-1），|AB|=2，
点C到直线x=1的距离d=1，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×2=1$，成立；
当直线的斜率不存在时，设直线l的方程为：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{kx-y+2-k=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（k²+1）x²+（4k-2k²）x+k²-4k+2=0，
∵直线l过点P（1，2）且与圆C：x²+y²=2相交于A，B两点，
∴△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{k}^{2}-4k+2}{{k}^{2}+1}$，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{{4k-2k}^{2}}{{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{{k}^{2}-4k+2}{{k}^{2}+1}]}$=$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+16k-8}{{k}^{2}+1}}$，
点C（0，0）到直线l的距离d=$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵△ABC的面积为1，
∴$\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}×\sqrt{\frac{4{k}^{2}+16k-8}{{k}^{2}+1}}$×$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
整理，得16k²-24k+9=0，
解得k=$\frac{3}{4}$，∴直线l为3x-4y+5=0．
综上，直线l的方程为：x-1=0，3x-4y+5=0．
故答案为：x-1=0，3x-4y+5=0．

点评 本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、直线方程等知识点的合理运用．