Question

已知F₁、F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点Q（-

2

，1）在椭圆上，线段QF₂与y轴的交点M满足

QM

+

F2M

=0；
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆C上一点，且∠F₁PF₂=

π

3

，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析：（1）由点Q（-

2

，1）在椭圆上，可得

2

a2

+

1

b2

=1．因为线段QF₂与y轴的交点M满足

QM

+

F2M

=

0

，所以M为线段QF₂的中点，
可得-

2

+c=0，联立

- 2 +c=0 a2=b2+c2 2 a2 + 1 b2 =1

，即可解出．
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n．
利用椭圆的定义和余弦定理可得

m+n=4 m2+n2-2mncos π 3 =(2 2 )2

，即可解得mn．再利用S△=

1

2

mnsin

π

3

即可．

解答：解：（1）∵点Q（-

2

，1）在椭圆上，∴

2

a2

+

1

b2

=1．
∵线段QF₂与y轴的交点M满足

QM

+

F2M

=

0

，
∴M为线段QF₂的中点，
∴-

2

+c=0，
 联立

- 2 +c=0 a2=b2+c2 2 a2 + 1 b2 =1

，解得

a2=4 b2=c2=2

．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n．
利用椭圆的定义和余弦定理可得

m+n=4 m2+n2-2mncos π 3 =(2 2 )2

，
解得mn=

8

3

．
∴S△=

1

2

mnsin

π

3

=

1

2

×

8

3

×

3

2

=

2

3

3

．

点评：熟练掌握椭圆的定义及其性质、中点坐标公式、余弦定理、三角形的面积计算公式是解题的关键．