Question

设命题p：|4x-3|≤1，命题q：x²-（2a+1）x+a²+a≤0，若^?p是^?q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　）

• A．0＜a＜

  1

  2

• B．a＜0，或a＞

  1

  2

• C．0≤a＜

  1

  2

• D．0≤a≤

  1

  2

Answer 1

分析：根据命题p和q，分别得到命题^?p和^?q对应的不等式，分别解不等式得到^?p和^?q对应的x的取值范围．因为^?p是^?q的必要不充分条件，所以命题^?q对应的集合应该是命题^?p对应的集合的真子集，因此建立关于a的不等式组，解之可得实数a的取值范围．

解答：解：∵命题p：|4x-3|≤1，
∴命题^?p：|4x-3|＞1，即4x-3＜-1或4x-3＞1
解之得^?p：x＜

1

2

或x＞1；
∵命题q：x²-（2a+1）x+a²+a≤0，
∴命题^?q：x²-（2a+1）x+a²+a＞0，
即（x-a）[x-（a+1）]＞0
解之得命题^?q：x＜a或x＞a+1；
∵^?p是^?q的必要不充分条件，
∴“^?q⇒^?p”成立且“^?p⇒^?q”不成立
因此，集合M={x|x＜

1

2

或x＞1}，
集合N={x|x＜a或x＞a+1}，且N是M的真子集，
∴

a≤ 1 2 a+1≥1

且等号不同时成立，
∴0≤a≤

1

2

故选D

点评：本题以两个不等式的求解集的问题为载体，着重考查了充分必要条件的判断、集合包含关系的判断等知识点，属于基础题．