Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1，（a，b是实数），x∈R，F(x)=

f(x)，(x＞0) -f(x)，(x＜0)

．
（1）若f（-1）=0并且函数f（x）的值域为[0，+∞），求函数F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，3]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax²+bx+1，f（-1）=0，知a-b+1=0，由x∈R，f（x）的值域为[0，+∞），知b²-4（b-1）=0，由此能求出函数F（x）的表达式．
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，x∈[-2，2]，对称轴方程是x=

k-2

2

，由此能求出当x∈[-2，3]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数时实数k的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx+1，f（-1）=0，
∴a-b+1=0，
∵x∈R，f（x）的值域为[0，+∞），
∴

a＞0 △=b2-4a=0

，
∴b²-4（b-1）=0，
即（b-2）²=0，∴b=2，a=1，
∴f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
∴F（x）=

(x+1)2，(x＞0) -(x+1)2，(x＜0)

．…（6分）
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，x∈[-2，2]，
对称轴方程是x=

k-2

2

，
由图象可得，当

k-2

2

≤-2或

k-2

2

≥3，
即k≤-2或k≥8时，g（x）是单调函数．…（12分）

点评：本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．