Question

（本题满分15分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，试判断的单调性并给予证明;
（Ⅱ）若有两个极值点．
（i） 求实数a的取值范围;
（ii）证明：。 （注：是自然对数的底数）

Answer 1

（1）在R上单调递减 （2）,对于函数中不等式的证明，一般要功过构造函数来结合函数的最值来证明不等式的成立。

试题分析：解：（1）当时，，在R上单调递减       …………1分
，只要证明恒成立，      …………………………2分
设，则，
当时，，
当时，，当时，  ………………4分
，故恒成立
所以在R上单调递减                          ……………………6分
（2）（i）若有两个极值点，则是方程的两个根，
故方程有两个根，
又显然不是该方程的根，所以方程有两个根，    …………8分
设，得
若时，且，单调递减
若时，
时，单调递减
时，单调递增            ……………………………10分
要使方程有两个根，需，故且
故的取值范围为              ……………………………………12分
法二：设，则是方程的两个根，
则，
当时，恒成立，单调递减，方程不可能有两个根
所以，由，得，
当时，，当时，
，得
（ii） 由，得：，故，
，      ………………14分
设，则，上单调递减
故，即  ………………………………15分
点评：利用导数求解函数的单调性和求解函数的极值和最值，这是导数作为工具性的一个重要的体现。同时对于含有参数的导数的单调性的判定要学会结合导数的正负来求解单调增减区间，同时利用导数在某点处的正负来判定极值，而运用导数证明不等式，一般构造函数来证明。属于难度题。