Question

（2010•武汉模拟）已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M、N两点，直线OM、ON（O为坐标原点）分别与准线l：x=-

p

2

相交于P、Q两点，则∠PFQ=（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．

  π

  2

Answer 1

分析：假设直线MN的方程与抛物线方程联立，判断MQ⊥PQ，NP⊥PQ，再利用抛物线的定义可得相等的角，进而可求∠PFQ=90°

解答：解：由题意，设直线MN的方程为：x=my+

p

2

代入抛物线y²=2px（p＞0），可得y²-2mpy-p²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1y2=-p2
∵OM的方程为：y=

y1

x1

x，ON的方程为：y=

y2

x2

x，直线OM、ON（O为坐标原点）分别与准线l：x=-

p

2

相交于P、Q两点
∴P(-

p

2

，-

p2

y1

)，∴Q(-

p

2

，-

p2

y2

)
∵y1y2=-p2
∴P(-

p

2

，y2)，Q(-

p

2

，y1)
∴MQ⊥PQ，NP⊥PQ，
∴∠MQF=∠QFO，∠NPF=∠PFO
∵过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M、N两点
∴MQ=MF，NP=NF
∴∠MQF=∠MFQ，∠NFP=∠NPF
∴∠PFQ=90°
故选D．

点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的性质，考查抛物线的过焦点弦，计算要小心，属于中档题．