Question

给定函数①y=x -

1

2

，②y=2 x2-3x+3，③y=log 

1

2

|1-x|，④y=sin

πx

2

，其中在（0，1）上单调递减的个数为（　　）

Answer 1

分析：函数①为幂函数，且幂指数小于0，有幂函数的性质可判其在（0，1）上的单调性；
函数②是指数型的复合函数，内层是二次函数，外层是指数函数，由复合函数的单调性可判它在（0，1）上的单调性；
函数③是对数型的复合函数，外层对数函数是减函数，只要借助于图象分析内层函数t=|1-x|在（0，1）上的单调性即可；
函数④是正弦类型的函数，求出周期后借助于正弦函数的单调性可判断它在（0，1）上的单调性．

解答：解：①为幂函数，因为-

1

2

＜0，所以y=x-

1

2

在（0，1）上递减．
②令t=x2-3x+3=(x-

3

2

)2+

3

4

，该二次函数在（0，1）上递减，而外层函数y=2^t为增函数，所以函数y=2x2-3x+3在（0，1）上递减．
③y=log

1

2

|1-x|=log

1

2

|x-1|，令t=|x-1|，该内层函数在（0，1）递减，而外层函数y=log

1

2

t在定义域内为减函数，所以复合函数y=log 

1

2

|1-x|为（0，1）上的增函数．
④y=sin

π

2

x的周期T=4，由正弦函数的单调性知，y=sin

π

2

x在（0，1）上单调递增．
所以满足条件的有2个．
故选C．

点评：本题考查了基本初等函数单调性的判断，考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性符合“同增异减”的原则，此题是基础题．