Question

我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式可得，左边的系数为，
而右边， 的系数为，
由恒成立，可得．
利用上述方法，化简      ．

Answer 1

试题分析：构造等式（x-1）²ⁿ•（x+1）²ⁿ=（x²-1）²ⁿ，由左式可得x²ⁿ的系数为C_2n²ⁿ•（-1）²ⁿC_2n⁰+C_2n^2n-1•（-1）^2n-1C_2n¹+C_2n^2n-2•（-1）^2n-2C_2n²+…+C_2n⁰•（-1）⁰C_2n²ⁿ，即（C_2n⁰）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²，由右式可得得x²ⁿ的系数为（-1）ⁿC_2nⁿ，故有（C_2n⁰）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²=（-1）ⁿC_2nⁿ，
点评：对于此类组合数的应用问题，常常涉及二项式定理的应用，关键要根据题意，充分利用组合数的性质．