Question

【题目】如图，在棱长都相等的正三棱柱中，分别为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）取中点，连结，根据三角形中位线定理及棱柱的性质可证明四边形是平行四边形，得出，由线面平行的判定定理可得平面；（2）先证明平面，得出，故而结合，根据线面垂直的判定定理可得出平面.

试题解析：（1）∵G，E分别为CB，CB1的中点，∴EG∥BB1，且，

又∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴EG∥AD，EG=AD

∴四边形ADEG为平行四边形．∴AG∥DE

∵AG平面ABC，DE平面ABC，所以 DE∥平面AB

（2）由可得，取BC中点G，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，

∴BB1⊥平面ABC．∵AG平面ABC， ∴AG⊥BB1，

∵G为BC的中点，AB=AC，

∴AG⊥BC∴AG⊥平面BB1C1C，

∵B1C平面BB1C1C，∴AG⊥B1C，

∵AG∥DE，∴DE⊥B1C，

∵BC=BB1，B1E=EC，∴B1C⊥BE，

∵BE平面BDE，

DE平面BDEBE∩DE=E，

∴B1C⊥平面BDE．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.