分析 (Ⅰ)由${a_{n+1}}=\frac{2(n+1)}{n}{a_n}$,得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=2•\frac{a_n}{n}$.再利用等比数列的通项公式即可得出.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知${b_n}=1•{2^{n-1}}={2^{n-1}}$.可得${log_2}{b_n}={log_2}{2^{n-1}}=n-1$.再利用等差数列的求和公式即可得出.
解答 (Ⅰ)证明:由${a_{n+1}}=\frac{2(n+1)}{n}{a_n}$,得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=2•\frac{a_n}{n}$.
所以bn+1=2bn,即$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=2$.
又因为${b_1}=\frac{a_1}{1}=1$,
所以数列{bn}是以1为首项,公比为2的等比数列.…(7分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知${b_n}=1•{2^{n-1}}={2^{n-1}}$.
所以${log_2}{b_n}={log_2}{2^{n-1}}=n-1$.
则数列{log2bn}的前n项和Tn=$1+2+3+…+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$. …(13分)
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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A. | 76 | B. | 96 | C. | 146 | D. | 188 |
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