精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
11.已知数列{an}满足a1=1,an+1=$\frac{2(n+1)}{n}$an,设${b_n}=\frac{a_n}{n}$,n∈N*
(Ⅰ)证明{bn}是等比数列;
(Ⅱ)求数列{log2bn}的前n项和Tn

分析 (Ⅰ)由${a_{n+1}}=\frac{2(n+1)}{n}{a_n}$,得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=2•\frac{a_n}{n}$.再利用等比数列的通项公式即可得出.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知${b_n}=1•{2^{n-1}}={2^{n-1}}$.可得${log_2}{b_n}={log_2}{2^{n-1}}=n-1$.再利用等差数列的求和公式即可得出.

解答 (Ⅰ)证明:由${a_{n+1}}=\frac{2(n+1)}{n}{a_n}$,得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=2•\frac{a_n}{n}$.
所以bn+1=2bn,即$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=2$.
又因为${b_1}=\frac{a_1}{1}=1$,
所以数列{bn}是以1为首项,公比为2的等比数列.…(7分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知${b_n}=1•{2^{n-1}}={2^{n-1}}$.
所以${log_2}{b_n}={log_2}{2^{n-1}}=n-1$.
则数列{log2bn}的前n项和Tn=$1+2+3+…+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$.   …(13分)

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

1.如果执行如图的程序框图,且输入n=4,m=3,则输出的p=(  )
A.6B.24C.120D.720

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

2.已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1的左顶点为A,右焦点为F,O为原点,M,N是y轴上的两个动点,且MF⊥NF,直线AM和AN分别与椭圆C交于E,D两点.
(Ⅰ)求△MFN的面积的最小值;
(Ⅱ)证明;E,O,D三点共线.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

19.若函数y=f(x)在R上单调递减,且f(m2)>f(m),则实数m的取值范围是(0,1).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

6.化简:
(1)sinαcosα(tanα+cotα);
(2)$\frac{{\sqrt{1-2sinθcosθ}}}{{sinθ-\sqrt{1-{{sin}^2}θ}}}$(其中$θ∈({0,\frac{π}{4}})$)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

16.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题:“三百七十八里关,出行健步不为难,次日脚疼减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚疼每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”问此人第二天天走了(  )里?
A.76B.96C.146D.188

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

3.如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的$\sqrt{2}$倍,P为侧棱SD上的点,且SD⊥PC.
(1)求二面角P-AC-D的大小;
(2)在侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

20.函数g(x)=tan($\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$)的最小正周期为M,则f(x)=Msin(2x-$\frac{π}{6}$)在区间[0,$\frac{π}{2}$]上的值域为[-$\frac{3}{2}$,3],.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

4.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是(-7,3).

查看答案和解析>>

同步练习册答案