Question

设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f(

π

6

)|对一切x∈R恒成立，则    
①f（-

π

12

）=0；      
②|f（

7π

12

）|＜|f(

π

5

)|；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；  
④f（x）的单调递增区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；   
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．
以上结论正确的是（　　）

• A、①②
• B、①②③
• C、④⑤
• D、③④⑤

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用条件f（x）≤|f(

π

6

)|对一切x∈R恒成立，可知：当x=

π

6

时，f（x）取得最值，因此f(

π

6

)=±

a2+b2

，可得a=

3

b，可得f（x）．再利用三角函数的奇偶性、单调性等即可判断出．

解答： 解：∵f（x）≤|f(

π

6

)|对一切x∈R恒成立，∴f(

π

6

)=±

a2+b2

，∴asin

π

3

+bcos

π

3

=±

a2+b2

，
化为a=

3

b．
∴f（x）=2bsin(2x+

π

6

)．
①f（-

π

12

）=2bsin(-

π

12

×2+

π

6

)=0，正确；      
②|f（

7π

12

）|=|2bsin(

7π

6

+

π

6

)|=|2bsin

2π

3

|，|f(

π

5

)|=|2bsin(

2π

5

+

π

6

)|=|2bsin

17π

30

|．
∵

π

2

＜

17π

30

＜

2π

3

＜π，∴1＞sin

17π

30

＞sin

2π

3

＞0，
又b≠0，∴|f(

7π

12

)|＜|f(

π

5

)|；因此正确．
③∵f（-x）≠±f（x），∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数，正确；  
④由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）．
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，解得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ（k∈Z）．
当b＜0时，f（x）的单调递增区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；  
当b＞0时，f（x）的单调递增区间是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．
因此函数f（x）的单调递增区间与b的正负有关，因此④不正确．
⑤∵f（x）≤|f(

π

6

)|=

a2+b2

，∴不存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，因此⑤不正确．
综上可知：只有①②③正确．
故选：B．

点评：本题综合考查了三角函数的图象与性质，考查了应用知识解决实际问题的能力，属于难题．