Question

设圆C：（x-5）²+（y-3）²=5，过圆心C作直线l与圆交于A，B两点，与x轴交于P点，若A恰为线段BP的中点，则直线l的方程为（ ）
A．x-3y+4=0，x+3y-14=0
B．2x-y-7=0，2x+y-13=0
C．x-2y+1=0，x+2y-11=0
D．3x-y-12=0，3x+y-18=0

Answer 1

【答案】分析：由题意可设直线l的方程为y-3=k（x-5），P（0，3-5k），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立，然后由方程的根与系数关系可得，x₁+x₂，x₁x₂，由A为BP的中点可得x₂=2x₁，联立可求x₁，x₂，进而可求k，即可求解直线方程．
解答：解：∵圆C：（x-5）²+（y-3）²=5，∴C（5，3），
∵过圆心C作直线l与圆交于A，B两点，
∴设直线l的方程为y-3=k（x-5），
令y=0，得x=5-，即P（5-，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立，消去x可得（1+）y²-6（1+）x++4=0，
由方程的根与系数关系可得，y₁+y₂=6，y₁y₂==，①
∵A为BP的中点
∴=y₁，即y₂=2y₁，②
把②代入①可得y₂=4，y₁=2，y₁y₂==8，
∴k=±，
∴直线l的方程为y-3=±（x-5），
即x-2y+1=0，或x+2y-11=0．
故选C．
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，方程的根与系数关系的应用，体现了方程的数学思想，属于中档题．