Question

已知定义在区间上的函数f（x）=

mx+n

x2+1

为奇函数且f（

1

2

）=

2

5

（1）求实数m，n的值；
（2）求证：函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数．
（3）若?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤t恒成立，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函数是奇函数，确定n的值，利用f（

1

2

）=

2

5

，可求m的值；
（2）求导函数，利用导数大于等于0，可得函数的单调性；
（3）确定函数的最值，利用f（x）_max-f（x）_min≤t，可求t的最小值．

解答：（1）解：∵函数f（x）=

mx+n

x2+1

为奇函数，∴对于定义域内的任意实数x，都有f（-x）=-f（x）
即

-mx+n

x2+1

=-

mx+n

x2+1

，∴-mx+n=-mx-n，∴n=0
∴f（x）=

mx

x2+1

∵f（

1

2

）=

2

5

∴

m× 1 2

( 1 2 )2+1

=

2

5

，∴m=1
∴m=1，n=0；
（2）证明：由（1）知，f（x）=

x

x2+1

，求导函数可得：f′（x）=

(1-x)(1+x)

(x2+1)2

∵x∈[-1，1]，∴f′（x）≥0，∴函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数；
（3）解：∵函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
∴f（x）_min=-

1

2

，f（x）_max=

1

2

∵?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤t恒成立，
∴f（x）_max-f（x）_min≤t
∴t≥1
∴t的最小值为1．

点评：本题考查函数的解析式的求解，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的单调性，求出函数的最值，属于中档题．