Question

1．已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线x²-ay²=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（　　）

• A． $\frac{1}{9}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得p=8，进而求得M（1，4），求出双曲线的左顶点和渐近线方程，由两直线平行的条件，解方程即可得到a的值．

解答 解：抛物线y²=2px的焦点F为（$\frac{p}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义可得|MF|=1+$\frac{p}{2}$=5，解得p=8，
可得抛物线的方程为y²=16x，M（1，4），
双曲线x²-ay²=a的左顶点为A（-$\sqrt{a}$，0），
直线AM的斜率为$\frac{4}{1+\sqrt{a}}$，
又双曲线的渐近线方程为y=$\frac{1}{\sqrt{a}}$x，
由题意可得，$\frac{1}{\sqrt{a}}$=$\frac{4}{1+\sqrt{a}}$，
解得a=$\frac{1}{9}$，
故选A．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查双曲线的渐近线方程，以及两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于中档题．