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已知大于1的正数x,y,z满足
(1)求证:
(2)求的最小值.
【答案】分析:(1)可以将不等式左边乘以)[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]然后利用柯西不等式进行放缩求解;
(2)根据对数函数的性质,然后再利用柯西不等式进行放缩,注意不等式取等号的条件进行证明;
解答:解:(1)由柯西不等式得,
)[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]≥(x+y+z)2=27
得:
(2)∵=++
由柯西不等式得:(++)(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)),
由柯西不等式得:(++)(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))≥9
所以,


.得
所以,当且仅当时,等号成立.
故所求的最小值是3.
点评:此题主要考查柯西不等式的应用,充分利用好条件,进行拆分,是解题的关键,此题是一道中档题;
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知大于1的正数x,y,z满足x+y+z=3
3

(1)求证:
x2
x+2y+3z
+
y2
y+2z+3x
+
z2
z+2x+3y
3
2

(2)求
1
log3x+log3y
+
1
log3y+log3z
+
1
log3z+log3x
的最小值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知大于1的正数x,y,z满足x+y+z=3
3

(1)求证:
x2
x+2y+3z
+
y2
y+2z+3x
+
z2
z+2x+3y
3
2

(2)求
1
log3x+log3y
+
1
log3y+log3z
+
1
log3z+log3x
的最小值.

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已知大于1的正数x,y,z满足
(1)求证:
(2)求的最小值.

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已知大于1的正数x,y,z满足
(1)求证:
(2)求的最小值.

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