Question

已知函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的导函数f′(x)＝－2x＋7，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，求数列{an}的通项公式及Sn的最大值．

 

Answer 1

an＝－2n＋8(n∈N*)，当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值12

【解析】由题意可知：∵f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝－2x＋7对应相等可得a＝－1，b＝7，

∴可得f(x)＝－x2＋7x.因为点Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以有Sn＝－n2＋7n.

当n＝1时，a1＝S1＝6；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋8，a1＝6适合上式，

∴an＝－2n＋8(n∈N*)．

令an＝－2n＋8≥0得n≤4，当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值12.

综上，an＝－2n＋8(n∈N*)，当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值12.