Question

19．已知半径为$\sqrt{2}$的圆C，其圆心在射线y=-2x（x＜0）上，且与直线x+y+1=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）从圆C外一点P（x₀，y₀））向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求△PMC面积的最小值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设圆心C（a，-2a）（a＜0），圆心到直线x+y+1=0的距离d=$\frac{|a-2a+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，求出圆心，可得圆的方程；
（2）由|PM|=|PO|，得2x₀-4y₀+3=0，化简PM=PO=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{5（{y}_{0}-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{9}{20}}$，求出PM的最小值，进一步求出△PMC面积的最小值及点P的坐标即可．

解答 解：（1）已知圆的半径为$\sqrt{2}$，设圆心C（a，-2a）（a＜0），
∵圆心到直线x+y+1=0的距离d=$\frac{|a-2a+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
∴a=-1．
∴圆心C（-1，2）．
则圆的方程为：（x+1）²+（y-2）²=2；
（2）点P（x₀，y₀），则PO=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$，PM=$\sqrt{（{x}_{0}+1）^{2}+（{y}_{0}-2）^{2}-2}$，
由|PM|=|PO|，得2x₀-4y₀+3=0，
PM=PO=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{（2{y}_{0}-\frac{3}{2}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{5{{y}_{0}}^{2}-6{y}_{0}+\frac{9}{4}}$
=$\sqrt{5（{y}_{0}-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{9}{20}}$．
当${y}_{0}=\frac{3}{5}$时，PM=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．因此，PM的最小值为$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．
△PMC面积的最小值是：$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{5}}{10}×\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{20}$．
此时点P的坐标为（$-\frac{3}{10}$，$\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查直线方程和圆的方程及应用，考查直线与圆的位置关系，主要是相切，切线长问题，属于中档题．