Question

3．已知函数f（x）对任意a，b∈R，都有f（a+b）+f（a-b）=2f（a）•f（b），且f（0）≠0．
（Ⅰ） 求f（0）；
（Ⅱ）证明：函数f（x）为偶函数；
（Ⅲ） 存在正数m，使得f（m）=0，求满足f（x+T）=f（x）的1个T值（T≠0）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令a=0，b=0得到f（0）[f（0）-1]=0，从而求出f（0）；
（Ⅱ）令a=0，b=x得到以f（-x）=f（x），进而得出f（x）为偶函数；
（Ⅲ）令a=x，b=m得到f（x+2m）=-f（x），即可得出T=4m．

解答 解：（Ⅰ）令a=b=0，代入f（a+b）+f（a-b）=2f（a）•f（b）得，
f（0）+f（0）=2f（0）•f（0），
即f（0）[f（0）-1]=0，
因为f（0）≠0，所以f（0）=1；
（Ⅱ）令a=0，b=x，代入f（a+b）+f（a-b）=2f（a）•f（b）得，
f（x）+f（-x）=2f（0）•f（x）=2f（x），
所以f（-x）=f（x），
因此，函数f（x）为偶函数；
（Ⅲ）令a=x，b=m，代入f（a+b）+f（a-b）=2f（a）•f（b）得，
f（x+m）+f（x-m）=2f（x）•f（m）=0，
∵f（m）=0，∴f（x+m）=-f（x-m），
所以，f（x+2m）=-f（x），
所以，f（x+4m）=-f（x+2m）=f（x），
即f（x+4m）=f（x），
所以满足f（x+T）=f（x）的一个T值为4m．

点评 本题主要考查了抽象函数值的求解，函数奇偶性的判断与证明，以及抽象哈数周期的确定，属于中档题．