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为常数,且

(Ⅰ)求对所有实数成立的充要条件(用表示);

(Ⅱ)设为两实数,,若

求证:在区间上的单调增区间的长度和为(闭区间的长度定义为).

解:(Ⅰ)恒成立

;

(*)

因为,

所以,故只需(*)恒成立.

综上所述,对所有实数成立的充要条件是.   ………4分    

(Ⅱ)1°如果,则的图象关于直线对称.因为,所以区间关于直线 对称.

因为减区间为,增区间为,所以单调增区间的长度和为.   ………6分

2°如果.

(1)当时.

因为,所以,故=.

因为,所以,故=.

因为,所以,所以

.

时,令,则,所以

时,,所以=;

时,,所以=.

在区间上的单调增区间的长度和

=.                        …………10分

(2)当时.

因为,所以,故=.

因为,所以,故=.

因为,所以,所以.

时,令,则,所以

时, ,所以=;

时,,所以=;

在区间上的单调增区间的长度和

=.

综上得在区间上的单调增区间的长度和为.              …………14分

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