Question

【题目】（本小题共14分）如图，在三棱锥中， 底面

，点， 分别在棱上，且（Ⅰ）求证： 平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅱ）.

【解析】【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，

∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，

∴，∴在Rt△ABC中， ，∴.∴在Rt△ADE中， ，∴与平面所成的角的大小.

（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.

【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，设，由已知可得

.

（Ⅰ）∵，∴，∴BC⊥AP.

又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，

∴，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵，

∴.∴与平面所成的角的大小.

（Ⅲ）同解法1.