Question

某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师父加工一个零件是精品的概率为

2

3

，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为

1

9

．
（Ⅰ）求徒弟加工2个零件都是精品的概率；
（Ⅱ）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；
（Ⅲ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与均值Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）师徒二人各加工相同型号的零件2个，加工出精品均互不影响，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为

1

9

．
设出徒弟加工1个零件是精品的概率，由相互独立事件同时发生的概率得到关于概率的方程，解方程即可．
（II）写出两个人加工零件对应的是精品的概率，写出分布列，徒弟加工该零件的精品数多于师父包括三种情况，这三种情况是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率得到结果．
（Ⅲ）由题意知师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，则ξ的可能取值是为0，1，2，3，4，对应于变量的事件做出概率，其中比较麻烦的是ξ=2时，它包含三种情况，写出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．
师父加工一个零件是精品的概率为

2

3

，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为

1

9

．
设徒弟加工1个零件是精品的概率为p₁
由相互独立事件同时发生的概率得到
∵

2

3

×

2

3

p

2 1

=

1

9

∴

p

2 1

=

1

4

，
∴徒弟加工2个零件都是精品的概率是

1

4

（Ⅱ）设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为p₂
由（Ⅰ）知，p1=

1

2

师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下：

徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列如下：

徒弟加工该零件的精品数多于师父包括三种情况，这三种情况是互斥的，
根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率得到
∴p₂=

1

9

×

2

4

+

4

9

×

1

4

+

1

9

×

1

4

=

7

36

（Ⅲ）由题意知师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，则ξ的可能取值是为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

1

4

×

1

9

=

1

36

，
P（ξ=1）=

1

9

×

2

4

+

1

4

×

4

9

=

6

36

P（ξ=2）=

1

9

×

1

4

+

4

9

×

1

4

+

4

9

×

2

4

P（ξ=3）=

4

9

×

1

4

+

4

9

×

2

4

=

12

36

P（ξ=4）=

4

9

×

1

4

=

4

36

∴ξ的分布列是

∴ξ的期望为0×

1

36

+1×

6

36

+2×

13

36

+3×

12

36

+4×

4

36

=

7

3

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件的概率，考查互斥事件的概率，是一个综合题，解题时注意读懂题意，避免出错．