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已知A(3,-2,1),B(1,1,1),O为坐标原点.
(1)写出一个非零向量
c
,使得
c
平面AOB;
(2)求线段AB中点M及△AOB的重心G的坐标;
(3)求△AOB的面积.
分析:(1)写出一个非零向量
c
,要使得
c
平面AOB;只要向量
c
与平面AOB内的两个向量的数量积都是0,即可.
(2)根据公式直接求线段AB中点M及△AOB的重心G的坐标;
(3)要求△AOB的面积,只要求OA、OB的长度,再求其夹角的正弦即可求解.
解答:解:(1)设非零向量
c
=(x,y,z),要使得
c
平面AOB;
c
OA
=0 且 
c
OB
=0即
3x-2y+z=0 且x+y+z=0
令 x=3 则  y=2  z=-5;非零向量
c
=(3,2,-5)
(2)线段AB中点M(
1+3
2
1-2
2
1+1
2
)即(2,-
1
2
,1)

△AOB的重心G的坐标(
1+3
3
1-2
3
1+1
3
)
(
4
3
,-
1
3
2
3
)

(3)|OA|=
32+(-2)2+1
=
14
,|OB|=
3

∴cos∠AOB=
OA
OB
|0A||OB|
=
3-2+1
14
3
=
42
21

sin∠AOB=
399
21

S△AOB=
1
2
×
14
× 
3
×
399
21
=
38
2
点评:本题考查空间向量的数量积的运算,三角函数的基本关系,是中档题.
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