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设函数f(x)=ax+ (a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方

 

程为y=3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,

并求出此定值.

 

【答案】

(1)解 f′(x)=a-

 

解得

 

 

因为a,b∈Z,故f(x)=x+.

 

(2)证明 在曲线上任取一点,由f′(x0)=1-知,过此点的切线

 

方程为y-=[1-] (x-x0).

 

令x=1,得y=,   切线与直线x=1的交点为 (1, );

 

 

令y=x,得y=2x0-1,切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1);

直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为

|2x0-1-1|=2.

 

所以,所围三角形的面积为定值2.

 

【解析】略

 

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注:e是自然对数的底数.

 

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