A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{5π}{12}$ | D. | $\frac{π}{3}$ |
分析 如图所示,建立空间直角坐标系.由$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{C{B}_{1}}$,可得$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OC}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{C{B}_{1}}$,即可得出$\overrightarrow{AP}$,再利用向量夹角公式即可得出.
解答 解:如图所示,建立空间直角坐标系.
D(0,0,0),A(3,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2$\sqrt{6}$),
B1(3,2,2$\sqrt{6}$),
∵$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{C{B}_{1}}$,
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OC}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{C{B}_{1}}$=(0,2,0)+$\frac{1}{3}$$(3,0,2\sqrt{6})$=$(1,2,\frac{2\sqrt{6}}{3})$.
∴$\overrightarrow{AP}$=$(-2,2,\frac{2\sqrt{6}}{3})$,
$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=$(0,0,2\sqrt{6})$.
∴$cos<\overrightarrow{AP},\overrightarrow{D{D}_{1}}>$=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{D{D}_{1}}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{D{D}_{1}}|}$=$\frac{8}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+(\frac{2\sqrt{6}}{3})^{2}}×2\sqrt{6}}$=$\frac{1}{2}$,
∴$<\overrightarrow{AP},\overrightarrow{D{D}_{1}}>$=$\frac{π}{3}$.
故选:D.
点评 本题考查了向量的夹角公式、数量积运算性质、向量三角形法则、向量共线定理,考查了数形结合方法、推理能力与计算能力,属于中档题.
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A. | $\frac{{{k^2}+k+2}}{2}$ | B. | k2+k+2 | C. | $\frac{{{k^2}+k}}{6}$ | D. | $\frac{{{k^2}+1}}{6}$ |
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