Question

如图，摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．
（1）经过4分钟，点P距离地面的高度为多少？
（2）建立如图所示坐标系，求点P距地面的高度h与时刻t（min）的函数关系，
（3）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距地面超过70m？

Answer 1

分析：（1）因为摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，所以4分钟后P点的位置可以由图看出，利用解三角形可得P距离地面的高度；
（2）由图形知，可以以点O在地面上的垂足为原点，OP所在直线为Y轴，过O在地面上的投影且与OP垂直的向右的方向为X轴建立坐标系，由起始位置在最低点，故可以得出点P的坐标，再由摩天轮作匀速转动，每3min转一圈，知T=3，可得角速度为

2π

3

弧度/分，再结合摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，即可得出确定在时刻tmin时P点距离地面的高度的函数；
（3）由（2）中的函数，令函数值大于70解不等式即可得出P点距离地面超过70m的时间．

解答：解：（1）因为摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，
则经过4分钟P点的位置位于如图所示：
所以经过4分钟，点P距离地面的高度为50+40×sin30°=50+40×

1

2

=70；
（2）由图形知，可以以点O在地面上的垂足为原点，OP所在直线为Y轴，
与OP垂直的向右的方向为X轴建立坐标系，
由题意P（-

π

2

，10），A=40，T=3，可得ω=

2π

3

，
故有点P离地面的高度h=40sin（

2π

3

t-

π

2

）+50
即t时刻点P离地面的高度h=40sin（

2π

3

t-

π

2

）+50；
（3）令40sin（

2π

3

t-

π

2

）+50＞70得sin（

2π

3

t-

π

2

）＞

1

2

，
即有

π

6

＜

2π

3

t-

π

2

＜

5π

6

，解得1＜t＜2，
在旋转一圈的三分钟的时间里，从一分钟开始高度大于70，二分钟开始高度小于70，
故高度大于70的时间一周中有1分钟．
答：一周中有1分钟的时间高度超过70m．

点评：本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立符合条件的坐标系，得出相应的函数模型，作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，求解三角形的边与角，是中档题．